いんとろ

「ぐるぐるビンゴ」イベント始まって ちょろちょろしかINしてなくてコインが全然ありません。
もいです、こんばんは。

なかなかカードが埋まらないので、 改造石の個数と成功率を求めた記事 を少しいじって、何枚コインを使うと何マス位埋まるのかの確率を求めてみました。

計算する

ビンゴカードが$i$マス埋まった状態を $S_{i}$ とすると、 例によって遷移確率行列とかいう $S_{i}$ から $S_{j}$ への遷移確率を$(i, j)$成分に持つような26次正方行列 $P$ を書きます。 今回行列 $P$ の成分の添字は、埋まったマスの数との対応が取れて都合が良いので $0$ から始めることとします。 すると例えば$P_{01}$ は、マスの埋まってない状態 $S_0$ から$1$マス埋まった状態 $S_1$ への遷移確率を表します。

実際は$S_{23}$と$S_{24}$の時は土曜日と日曜日にもらえる「ぐるぐるビンゴスペシャルスタンプ」を使うと思うので、 $S_{23}$になっている確率とビンゴを回す回数の関係を求めます。
このために$P$の不要な次元を落としつつ、$S_{23}$ から $S_{24}$ に遷移しないようした 24次正方行列 $P'$ にします。

このうち、$S_{0}$から始めて$S_{23}$に遷移する確率、 すなわち$(0, 23)$成分の確率が求めたい成功率になると思います。 この$P'$を$n$乗してあげれば$n$回ビンゴを回したときの確率になります。

ちなみに $(23, 23)$ 成分を1にしてあげることで、 $P'^n$の$23$列目の確率は$n$回ビンゴを回したときに23マス埋まっている累計の確率になります。

さて、この$P'^n$の指数$n$を増やしながらビンゴカードを何回回すと、 どのくらいの確率で23マス埋まるのか計算した結果、次のグラフのようになりました。

これによると75回ビンゴを回せば90%を超えます。

したがって、1週間で1枚完成するつもりで1日に回さないといけない回数は、 $$ 75 / 7 \fallingdotseq 10.7 [回] $$ から、大体11回!

1日の放置時間は…… $$ (11-1) \times 3 / 2 = 15 [時間] $$

なので半日以上!

ちなみに1日3時間くらい遊ぶとすると、1週間に回せる回数は $3 \times 7 = 21$ [回]で、この程度じゃ23マスなんて埋まらないです……。

6時間寝てるとしてこの間中も電源つけてるとすると、 1週間に $7 \times 7 = 49$ [回] ビンゴを回すことができて、こ の時の確率は……$27.5%$ 位!

低い……
日中も電源入れっぱなしにしないとまずそう……。

以下確率計算に使ったソース(間違ってるかも)

#!/usr/bin/env python3
import numpy as np

# 試行回数
NUM = 100

# マス目の数
ITEM_NUM = 25
# 24, 25マス目の分を除く次元数
DIMENTION = ITEM_NUM - 1

# 遷移確率行列
trans_prob = np.zeros((DIMENTION, DIMENTION))
for i in range(DIMENTION):
    trans_prob[i,i] = i / ITEM_NUM
    if i+1 < DIMENTION:
        trans_prob[i,i+1] = (ITEM_NUM - i) / ITEM_NUM

trans_prob[DIMENTION-1,DIMENTION-1] = 1

# 初期状態
initial_prob = np.zeros(DIMENTION)
initial_prob[0] = 1

power_prob = initial_prob

for i in range(NUM):
    power_prob = power_prob @ trans_prob
    print(power_prob[-1] * 100)