いんとろ

久々に特別改造しました、もいです、こんばんは。

なかなか5段階にならないので、果たしてどのくらい確率が低いのか ちょっぴり計算してみました。
小難しい話はよくわかんないですが、 一次元非対称ランダムウォーク(吸収壁あり)とか言うやつっぽいです。
いや、違うかもしれないです。よくわかんないです。

計算する

用意する石の個数と5段階改造の成功率を求めます。 まず、改造の成功率をまとめます。

この表を参考に、遷移確率行列とかいう $i$ から $j$ への遷移確率を($i$, $j$)成分に持つような行列 $P$ を書きます。 $$ P = \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.55 & 0 & 0.45 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.55 & 0 & 0.45 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\\ $$

今回は5段階改造の成功率なので、0段階改造から始めて5段階改造に遷移する確率、 すなわち(1, 6)成分の確率が求めたい成功率になると思います。 この$P$を$n$乗してあげれば$n$個石を使った時の成功率になります。

(6, 6)成分の確率について、本来の特別改造だと5段階から5段階への遷移はありませんが、 ここを1にしてあげることで、$P^n$の$6$列目の確率は$n$個石を使うまでに5段階になる累計の確率になります。

さて、この$P^n$の指数$n$を増やしながら、 石をいくつ使うとどのくらいの確率で5段階になるのか計算した結果、次のグラフのようになりました。

(6段階する勇気ないので5段階までですごめんなさい。)

23個使って初めて50%超える感じです。
60個突っ込んでも90%行きません。
がくぶる！

計算が違うよーとかあれば下のコメントにください。
ではでは、良きMabinogiの日々を～。

以下確率計算に使ったソース(間違ってるかも)

#!/usr/bin/env python3
import numpy as np

# 遷移確率行列
P = np.array([
    [  0,   1,    0,    0,    0,    0],
    [0.5,   0,  0.5,    0,    0,    0],
    [  0, 0.5,    0,  0.5,    0,    0],
    [  0,   0, 0.55,    0, 0.45,    0],
    [  0,   0,    0, 0.55,    0, 0.45],
    [  0,   0,    0,    0,    0,    1],
],  dtype=np.float64)
# 初期は0段階
INITIAL_PROB = np.array([1, 0, 0, 0, 0, 0])
# 石の数
NUM = 150

powerP = INITIAL_PROB
for i in range(NUM):
    print(powerP @ np.array([0,0,0,0,0,1]).T * 100)
    powerP = powerP @ P